教育教学论坛

一、前言

近世代数是把研究对象通过集合、运算等方式，组织抽象为一些代数系统. 例如：群、环、域等，然后再进一步研究每种代数系统的结构、分类、性质、规律，用以指导和解决生产和实践中的诸多问题. 因此，学生在学习近世代数时，感受最深的就是概论多，内容抽象，难以理解和掌握其中的精髓. 而且近世代数的课后习题多以证明方式出现，许多学生在遇到证明题时，感觉束手无策. 解决问题的过程实质上就是一个思维的过程，如何教会学生科学的思维方式是每一位任课教师不得不面对的话题.

“数学的思维方法是一种科学的思维方式，通过观察客观现象，提出要研究的问题，抓住主要特征，抽象出概念，或者建立模型；运用自觉、归纳、类比、联想、逻辑推理等进行探索，猜测可能有的规律” [1]. 因此，要加强学生解题思路训练，提高其解决问题的技巧和能力，就要求专业教师在教授本课程的知识系统时，需要注重数学的思维方式，尤其在讲授定理证明时，通过类比、联想等环节进行探索. 即在研究或者解决问题时，通过类比、联想与其相似并已经掌握的知识、方法，用推理、论证等的相似性，去探究解决问题的方法.

实践证明，在近世代数定理证明的教学中，多采用类比、联想思维方式，对证明思路进行剖析，发现证明思路的共同特点，就可以充分开拓学生的思路. 联系已有的知识,将要证明的结论与已经解决了的熟悉的证明方法进行类比，从而创造性地解决问题.

二、通过联想、类比进行归纳和总结，剖析证明思路

定理无疑是有限群的基础结论，也是最重要的结论之一，其证明思路和方法非常值得我们学习和借鉴.

1. 定理的证明思路

定理[2] 设是有限群, 是的子群，则.

证明思路 由群的子群可以得到的元素之间的一个等价关系：.群的元素所在的等价类为：

. 所以，元素所在的等价类就恰好是左陪集，于是，得到的一个分类（的一个左陪集分解）

，其中， 因为是有限集合，由该分类，可得到的一个计数关系：…(1).

证明定理的关键是如何来优化计数关系(1)，从而明确和之间的关系. 注意到下面的映射:是从有限集合到有限集合之间的一个同构，从而，，所以有：，

即定理的结论.

从上面的证明思路可以看出其核心思想是：由元素之间的等价关系得到有限集合的一个分类，又由该分类得到有限集合的一个计数关系，再优化计数关系得到有限群的阶与其任意子群的阶之间的一个重要关系. 而著名的第三定理[2] 与定理有相似之处，我们可以用类比思维的方式，用已经熟悉、掌握的定理的证明思路来探究.

2. 第三定理(计数定理)的证明思路

第三定理 设是有限群，且,是素数，是正整数，.若的子群共有个，则且即

证明思路 设是的子群，由第二定理，全体子群是一个共轭子群类，故，该共轭类所含元素的个数，即子群的个数.这里的是子群在中的正规化子.从而，由定理有：.

又对于有限群和其子群，由命题1.26[3]得到的一个分类：

，其中的是关于其子群的重陪集. 于是，可得到的一个计数关系：.

类似于定理的证明思路，关键是先来优化这个计数关系. 因为，重陪集中含的右陪集个数为: . 所以，…(2)

从而得到一个新的计数关系. 再继续优化计数关系(2). 注意到该计数关系中，等于1或者是素数的正整数次幂. 而且，中总共有个是1. 由(2)可得：

. 又因为，,于是有：

素数整除. 又因为是的子群，

所以，，于是，，故有：，即，

近世代数不仅课程的内容抽象，性质、定理的证明也非常抽象，难以理解. 但是，通过类比、联想已学过的相关相似命题证明的思路，揭示出证明过程的本质，不仅有利于学生接受，也有利于培养学生从现象到本质、从特殊到一般、从具体到抽象的认识事物的能力，诱导它们由命题的相似性，去猜想推理论证的相似性，从而发展其解决问题的能力.

三、将类比结论进行推广，培养学生的创新能力

通过类比上述定理的证明思路，我们联想到：如果抽象群G在集合M上有一个群作用

，这里的是集合中任意一个元素，记在该群作用下元素的轨道（即所在的轨道）为：，那么，我们在集合上规定一个二元关系：

，使得：. 该二元关系是集合元素间的一个等价关系，且元素所在的等价类就是所在的轨道. 因此，所有轨道（即等价类）组成集合的一个分类：， ，. 当是有限集合时，可设：，于是，同样可以得到关于集合M的一个计数关系： 是中元素所在轨道的长度，，这里的，是中元素的稳定子群. 有限集合M的这个计数关系，在不同的群作用下有不同的表现形式，我们可以选择适当的群在集合上的作用来研究集合的一些性质，尤其是关于集合的计数问题.

联想以上两个定理的证明思路，在确定的群作用下，我们再优化集合的这个计数关系，是不是也可以得到一些有用的结论呢？答案是肯定的. 例如：G是群，令集合，，那么，，是群G在集合G上的共轭作用，在G是有限群的情况下，再进一步优化计数关系：

因为在群的共轭作用下，所在的轨道就是与共轭的全体元素构成，轨道的长度就是与共轭的元素的个数，记，计数关系优化为：

这个等式称为群的类方程，是有限群研究中重要的结论之一.

四、结束语

实践表明, 在近世代数课堂教学中，不仅可采用类比、联想思维方式来讲授概念、性质等，对讲授定理的证明思路和证明过程也可采用类比、联想思维方式，这样既可以有效地培养学生的数学思维和培养学生发现问题和分析解决问题的能力，也可以打开学生的解题思路，激发出学生的创新思维，提高学生学习近世代数的兴趣，起到事半功倍的神奇效果. 正如康德所说：“每当理智缺乏可靠的思路时,类比这个方法往往能指引我们前进。”